Ciągi
Własności ciągów. 1.01
Zbadaj, które wyrazy ciągu są mniejsze niż.
Własności ciągów. 1.02
Które wyrazy ciągu spełniają nierówność?
Własności ciągów. 1.03
Zbadaj monotoniczność ciągu.
Własności ciągów. 1.04
Zbadaj monotoniczność ciągu.
Własności ciągów. 1.05
Zbadaj monotoniczność ciągu.
Własności ciągów. 1.06
Zbadaj monotoniczność ciągu.
Własności ciągów. 1.07
Zbadaj monotoniczność ciągu.
Własności ciągów. 1.08
Wykaż, że ciąg, gdzie w liczniku i mianowniku jest dziewiątek, jest ciągiem stałym.
Własności ciągów. 1.09
Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym Wykaż, że.
Ciąg arytmetyczny. 2.01
W ciągu arytmetycznym dany jest pierwszy wyraz i różnica. Znajdź dziesiąty wyraz tego ciągu.
Ciąg arytmetyczny. 2.02
W ciągu arytmetycznym,. Oblicz i.
Ciąg arytmetyczny. 2.03
Między liczby 24 i 56 wstaw siedem liczb tak, aby wraz z danymi tworzyły kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny. 2.04
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane:.
Ciąg arytmetyczny. 2.05
W ciągu arytmetycznym suma wyrazów trzeciego i piątego jest równa połowie sumy wyrazów czwartego i dziesiątego. Oblicz
Ciąg arytmetyczny. 2.06
Współczynniki równania są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a ich suma równa się. Jednym z rozwiązań równania
Ciąg arytmetyczny. 2.07
Znaleźć taką zależność między i, aby równanie miało cztery pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny.
Ciąg arytmetyczny. 2.08
Oblicz pole prostokąta o obwodzie 140 cm, wiedząc, że długości boków i przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.
Ciąg arytmetyczny. 2.09
Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, a jego obwód wynosi. Oblicz długości boków trójkąta.
Ciąg arytmetyczny. 2.10
Dla jakich wartości liczby: tworzą ciąg arytmetyczny?
Ciąg arytmetyczny. 2.11
Dla jakich ciąg jest ciągiem arytmetycznym?
Ciąg arytmetyczny. 2.12
Dla jakich ciąg: jest ciągiem arytmetycznym?
Ciąg arytmetyczny. 2.13
Udowodnij, że jeśli różne liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby też tworzą ciąg arytmetyczny.
Ciąg arytmetyczny. 2.14
Wykaż, że jeżeli wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego są różne od zera, to prawdziwa jest równość
Ciąg arytmetyczny. 2.15
Udowodnij, że jeśli liczby i ciąg jest arytmetyczny, to
Ciąg arytmetyczny. 2.16
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane
Ciąg arytmetyczny. 2.17
Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane
Ciąg arytmetyczny. 2.18
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.
Ciąg arytmetyczny. 2.19
Znajdź -wyrazowy ciąg arytmetyczny wiedząc, że suma jego wyrazów o numerach parzystych jest równa, a suma wyrazów
Ciąg arytmetyczny. 2.20
Znaleźć ciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz jest równy, a suma pięciu początkowych wyrazów jest cztery razy
Ciąg arytmetyczny. 2.21
Pan Tomasz Sinus, zapalony turysta, wyruszył w podróż krajoznawczą, pokonując każdego dnia 40 kilometrów. Po 6 dniach
Ciąg arytmetyczny. 2.22
W pewnej rodzinie ojciec – wielki miłośnik książek – dawał każdemu ze swoich pięciu synów w dzień urodzin począwszy od
Ciąg arytmetyczny. 2.23
Wyznacz ciąg arytmetyczny wiedząc, że suma jego wyrazów jest równa dla każdego naturalnego
Ciąg arytmetyczny. 2.24
oznaczają odpowiednio sumy początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wykaż, że
Ciąg arytmetyczny. 2.25
Rozwiąż równanie
Ciąg arytmetyczny. 2.26
Rozwiąż równanie
Ciąg arytmetyczny. 2.27
Znajdź wszystkie liczby naturalne takie, że
Ciąg arytmetyczny. 2.28
Oblicz, gdy
Ciąg arytmetyczny. 2.29
Rozwiąż równanie
Ciąg arytmetyczny. 2.30
Dana jest tablica liczb naturalnych zwana tablicą Pitagorasa: Oblicz wiedząc, że suma wszystkich liczb tablicy jest
Ciąg geometryczny. 3.01
Wyznacz ciąg geometryczny jeżeli i.
Ciąg geometryczny. 3.02
Składamy 2 stycznia do banku 10 000 zł na oprocentowanie 1% miesięcznie, tzn. ostatniego dnia miesiąca bank dopisuje do
Ciąg geometryczny. 3.03
Wyznacz ciąg geometryczny wiedząc, że suma pierwszego, trzeciego i piątego wyrazu tego ciągu jest równa 21, a różnica
Ciąg geometryczny. 3.04
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62, a ich iloczyn jest równy 1000. Wyznacz ten ciąg.
Ciąg geometryczny. 3.05
Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa, a suma kwadratów tych wyrazów Znajdź iloraz tego
Ciąg geometryczny. 3.06
Między liczby i wstaw trzy liczby takie, aby ciąg był ciągiem geometrycznym.
Ciąg geometryczny. 3.07
Dla jakich rzeczywistych wartości liczby: wzięte w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny?
Ciąg geometryczny. 3.08
Dla jakich wartości liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny?
Ciąg geometryczny. 3.09
Liczby i są rozwiązaniami równania, a liczby i są rozwiązaniami równania Oblicz i wiedząc, że liczby tworzą rosnący
Ciąg geometryczny. 3.10
Ciąg jest geometryczny. Udowodnij, że
Ciąg geometryczny. 3.11
Wykopano studnię o głębokości metrów. Za pierwszy metr zapłacono 30 zł, a za każdy następny zapłacono dwukrotnie więcej
Ciąg geometryczny. 3.12
Wyrazy ciągu geometrycznego spełniają układ równań Dla jakiej wartości n suma wyrazów tego ciągu?
Ciąg geometryczny. 3.13
Suma czterech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa, a suma następnych czterech wynosi Znajdź pierwszy
Ciąg geometryczny. 3.14
W rosnącym ciągu geometrycznym suma początkowych wyrazów wynosi, a suma początkowych wyrazów Oblicz
Ciąg geometryczny. 3.15
Znajdź sumę kwadratów wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
Ciąg geometryczny. 3.16
Wiadomo, że suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi, a suma ich odwrotności jest równa Znajdź iloczyn
Ciąg geometryczny. 3.17
Ciąg jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę mając dane
Ciąg geometryczny. 3.18
Udowodnij, że suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu należy do przedziału
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.01
Liczby tworzą ciąg arytmetyczny, zaś ciąg geometryczny. Znajdź
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.02
Trzy liczby, których suma jest równa tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są odpowiednio pierwszym, drugim i czwartym
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.03
Dwa ciągi arytmetyczny i geometryczny mają równe pierwsze wyrazy oraz równe trzecie wyrazy. Drugi wyraz ciągu
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.04
Trzy liczby, których suma wynosi, tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby tworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.05
Trzy różne liczby tworzą ciąg geometryczny, natomiast tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.06
Cztery liczby są tak dobrane, że trzy pierwsze z nich tworzą ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Suma
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.07
Jaką zależność muszą spełniać liczby aby tworzyły jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny?
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.08
Wykaż, że jeśli ciąg jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.09
Trzy liczby rzeczywiste, różne od zera tworzą ciąg arytmetyczny, a kwadraty tych liczb zapisane w tym samym porządku
Ciąg arytmetyczny i geometryczny. 4.10
Wykaż, że jeśli dodatnie i różne od liczby tworzą ciąg geometryczny, to liczby, gdzie tworzą ciąg arytmetyczny.
Granica ciągu. 5.01
Które wyrazy ciągu spełniają nierówność, jeśli a) b) c)
Granica ciągu. 5.02
Wykaż, że ciąg jest rosnący, a jest jego granicą.
Granica ciągu. 5.03
Wykaż, że ciąg jest malejący, a jest jego granicą.
Granica ciągu. 5.04
Wykaż, że granicą ciągu jest
Granica ciągu. 5.05
Korzystając z definicji rozbieżności ciągu do wykaż, że
Granica ciągu. 5.06
Podaj przykład takich dwóch ciągów takich, że i oraz
Granica ciągu. 5.07
Podaj przykład takich dwóch ciągów takich, że i oraz
Granica ciągu. 5.08
Podaj przykład takich dwóch ciągów takich, że i oraz
Granica ciągu. 5.09
Podaj przykład takich dwóch ciągów takich, że i oraz nie istnieje.
Zbieżny szereg geometryczny. 6.01
Oblicz sumy podanych szeregów geometrycznych. a) b) c) d)
Zbieżny szereg geometryczny. 6.02
Zamień ułamki okresowe dziesiętne na ułamki zwykłe. a) b) c) d)
Zbieżny szereg geometryczny. 6.03
Wyznacz dla których podany ciąg geometryczny jest zbieżny. a) b)
Zbieżny szereg geometryczny. 6.04
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym Dla jakich wartości ciąg jest zbieżny?
Zbieżny szereg geometryczny. 6.05
Dla jakich wartości szereg jest zbieżny i ma sumę równą?
Zbieżny szereg geometryczny. 6.06
Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym zbieżnym. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa, a suma