Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna
kurs

Definicja

1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb $a_1,\ a_2$ .

$a_a = \frac{a_1 + a_2}{2}$

2) Średnia geometryczna liczb nieujemnych.

$a_g = \sqrt{a_1a_2}$

3) Średnia harmoniczna

$a_h = \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}} = \frac{2a_1a_2}{a_1 + a_2}$

Ogólnie:

$a_a = \frac{a_1 + a_2 +\ ...\ + a_n}{n} \qquad a_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot\ ...\ \cdot a_n} \qquad a_h = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +\ ...\ +\frac{1}{a_n}}$

Prawdziwe jest …

Twierdzenie

Dla dodatnich $a_1,\ a_2,\ ...\ a_n$ zachodzi:

$a_a\ge a_g \ge a_h$

Ogólny dowód jest trudny.
Łatwo dowodzi się tego twierdzenia dla dwóch liczb.
Liczby $a_1$ i $a_2$ są dodatnie, więc istnieją pierwiastki z tych liczb. Utwórzmy różnicę tych pierwiastków.

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}$

Znak tej różnicy jest oczywiście dowolny, ale jak podniesiemy ją do kwadratu to już musi być nieujemna.

$(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})^2 \ge 0$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia.

$a_1 - 2\sqrt{a_2} \cdot \sqrt{a_2} + a_2 \ge 0 $
$a_1 + a_2 \ge 2 \sqrt{a_1a_2}\ /:2 $
$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$

Zatem

$a_a \ge a_g$

Jeśli same te liczby odejmiemy i różnicę podniesiemy do kwadratu, otrzymamy liczbę nieujemną.

$(a_1 - a_2)^2 \ge 0 $
$a_1^2 - 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $
$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2\ /+2a_1a_2 $
$a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 4a_1a_2 $
$(a_1 + a_2)^2 \ge 4a_1a_2\ /\cdot a_1a_2 $
$a_1a_2(a_1 + a_2)^2 \ge 4a_1^2a_2^2\ /:(a_1 + a_2)^2 $
$a_1a_2 \ge \frac{4a_1^2a_2^2}{(a_1 + a_2)^2} $
$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2a_1a_2}{a_1 + a_2} = \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$

Dalsza część kursu dostępna
dla użytkowników premium

Subskrypcja premium miesięczna

Automatyczna comiesięczna płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT.

Płatność kartą. Autoodnawialność można w każdej chwili wyłączyć.

15 zł

Dostęp premium na 3 miesiące

Jednorazowa płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT przez 3 miesiące.

Wszystkie metody płatności:
szybki przelew, BLIK, karta, Google Pay.

35 zł

Szybka i bezpieczna płatność za pomocą PayU.
Wszystkie podane ceny zawierają podatek VAT.

Tysiące kursów, zadań oraz quizów z matematyki i fizyki stworzonych przez ekspertów
Podzielone tematycznie i ułożone tak, by zwiększyć efektywność uczenia się
Pełny i wygodny dostęp z dowolnego urządzenia, komputera, tabletu lub komórki
Najtańszy i najefektywniejszy sposób przygotowania się do matury
Brak reklam i jakichkolwiek ukrytych kosztów

Chcesz otrzymać fakturę? Napisz na: .

Materiały zamieszczone w portalu SOFIZMAT podlegają ochronie prawnej na podstawie przepisów ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych. Bez zgody właścicieli zabronione jest m.in. ich kopiowanie, przedruk oraz udostępnianie w całości, jak i w części.

Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmonicznakurs