Pole trójkąta
kurs

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A(x_A, y_A),\ B=(x_B, y_B),\ C = (x_C, y_C)$ . Jak obliczyć jego pole? Można oczywiście to zrobić posługując się powszechnie znanym wzorem, ale jest z tym tyle kłopotu, że lepiej wymyślić coś innego. Jest sposób na łatwiejsze obliczenie pola w takiej sytuacji.
Dwa dowolne wierzchołki trójkąta mogą stanowić wektor. Wybierzmy dwa takie wektory, na przykład $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ oznaczone odpowiednio $\vec{a},\ \vec{b}$ . Ich współrzędne wynoszą

$\vec{a} = [a_x,\ a_y] = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$
$\vec{b} = [b_x,\ b_y] = [x_C - x_A,\ y_C - y_A]$

Znany jest wam zapewne wzór na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$ , gdzie $a,\ b$ długości boków, a $\alpha$ kąt między nimi. Zastosujmy go do naszego trójkąta.

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
$b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Iloczyn skalarny pomoże w obliczeniu kosinusa i, pośrednio, sinusa.

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab} = \frac{a_xb_x + a_yb_y}{ab}$
$\sin\alpha > 0$
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{(a_xb_x + x_yb_y)^2}{a^2b^2}} = \frac{\sqrt{a^2b^2 - (a_xb_x + a_yb_y)^2}}{ab} =$
$= \frac{\sqrt{(a_x^2 + a_y^2)(b_x^2 + b_y^2) - (a_xb_x + a_yb_y)^2}}{ab} =$
$= \frac{\sqrt{a_x^2b_x^2 + a_x^2b_y^2 + a_y^2b_x^2 + a_y^2b_y^2 - a_x^2b_x^2 - a_y^2b_y^2 - 2a_xa_yb_xb_y}}{ab} =$
$= \frac{\sqrt{a_x^2b_y^2 + a_y^2b_x^2 - 2a_xa_yb_xb_y}}{ab} = \frac{\sqrt{(a_xb_y - a_yb_x)^2}}{ab} = \frac{|a_xb_y - a_yb_x|}{ab}$

Zatem pole to:

$P = \frac{1}{2}ab\frac{|a_xb_y - a_yb_x|}{ab} = \frac{1}{2}|a_xb_y - a_yb_x|$

Wyrażenie pod modułem to przecież wyznacznik.

*) $P = \frac{1}{2}\left| { \left| \begin{matrix} a_x & a_y\\b_x&b_y \end{matrix}\right| } \right|$

Wewnętrzne kreski to symbol wyznacznika, zewnętrzne modułu.

Dalsza część kursu dostępna
dla użytkowników premium

Subskrypcja premium miesięczna

Automatyczna comiesięczna płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT.

Płatność kartą. Autoodnawialność można w każdej chwili wyłączyć.

15 zł

Dostęp premium na 3 miesiące

Jednorazowa płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT przez 3 miesiące.

Wszystkie metody płatności:
szybki przelew, BLIK, karta, Google Pay.

35 zł

Szybka i bezpieczna płatność za pomocą PayU.
Wszystkie podane ceny zawierają podatek VAT.

Tysiące kursów, zadań oraz quizów z matematyki i fizyki stworzonych przez ekspertów
Podzielone tematycznie i ułożone tak, by zwiększyć efektywność uczenia się
Pełny i wygodny dostęp z dowolnego urządzenia, komputera, tabletu lub komórki
Najtańszy i najefektywniejszy sposób przygotowania się do matury
Brak reklam i jakichkolwiek ukrytych kosztów

Chcesz otrzymać fakturę? Napisz na: .

Materiały zamieszczone w portalu SOFIZMAT podlegają ochronie prawnej na podstawie przepisów ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych. Bez zgody właścicieli zabronione jest m.in. ich kopiowanie, przedruk oraz udostępnianie w całości, jak i w części.

Pole trójkątakurs

Dalsza część kursu dostępnadla użytkowników premium

Subskrypcja premium miesięczna

Dostęp premium na 3 miesiące

Pole trójkąta
kurs

Dalsza część kursu dostępna
dla użytkowników premium