Nierówności kwadratowe
kurs

Jak rozwiązuje się nierówności kwadratowe?

Przede wszystkim trzeba powiedzieć, że nierówność to nie to samo co równanie. Wbrew pozorom ta trywialna uwaga nie jest całkiem nie na miejscu, bo wielokrotnie widziałem jak uczeń rozwiązując nierówność kwadratową wylicza pierwiastki trójmianu po lewej stronie nierówności i wielce zadowolony na tym poprzestaje. Traktuje więc nierówność jak równanie. Nierówności kwadratowe można rozwiązywać różnie. Zróbmy najpierw przykład nierówności na dwa sposoby, a później omówmy bardziej systematycznie drugi z nich, bo szybszy i częściej stosowany.
Przykład.
Rozwiąż nierówność
$x^2-7x+6>0$
Sposób I. Rozkładamy lewą stronę na czynniki, czyli przedstawiamy ją w postaci iloczynowej. Można to zrobić poprzez umiejętne pogrupowanie wyrazów i wyłączanie przed nawias, albo wyliczając ze znanych wzorów pierwiastki lewej strony. Zróbmy to drugim sposobem.
$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=49-24=25 \\ \sqrt{\Delta}=5 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7-5}{2}=1 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7+5}{2}=6$
Nierówność przyjmuje postać iloczynową.
$(x-1)(x-6)>0$
Teraz pytamy kiedy iloczyn dwu liczb jest dodatni? W dwóch przypadkach: kiedy oba czynniki są dodatnie lub oba czynniki są ujemne.
$\{x-1>0 \\ x-6>0$ lub $\{x-1<0 \\ x-6<0$
Stąd
$\{x>1 \\ x>6$ lub $\{x<1 \\ x<6$
Bierzemy części wspólne tego co w klamerkach.
$x>6$ lub $x<1$
Rozwiązanie (uwaga! alternatywa nierówności oznacza sumę rozwiązań)
$x\in (-\infty, 1)\cup (6, \infty)$
Sposób II (szybszy)
Zaczynamy tak samo - od obliczenia pierwiastków. Następnie rysujemy uproszczony wykres.
Znamy pierwiastki, wiemy, że $a>0$ . Wykres wygląda mniej więcej tak:

Nierówność jaką mamy do rozwiązania jest pytaniem dla jakich $x$ wartości funkcji widocznej na wykresie są dodatnie. To widać na rysunku: dodatnie wartości są tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$ .

Kawałki wykresu, dla których wartości funkcji kwadratowej są większe od zera zaznaczyłem na czerwono, a odpowiadające im argumenty na niebiesko. Z rysunku widać, że rozwiązaniem jest zbiór $x$ -ów $x\in (-\infty, 1)\cup(6, \infty)$ .
Teraz rozpatrzymy różne przypadki nierówności kwadratowych.

I. $a>0$ i $ax^2+bx+c>0$

1.

$\Delta>0$
W takim przypadku wykres wygląda tak:

Odczytane z wykresu rozwiązanie nierówności to
$x\in (-\infty, x_1)\cup(x_2, \infty)$

2.

$\Delta=0$

$x\in(-\infty, x_0)\cup(x_0, \infty)=R-\{x_0\}$

3.

$\Delta<0$
Uwaga, tu najwięcej błędów!

Nierówność jest spełniona dla wszystkich $x$ , więc nie jest prawdą, że nie ma rozwiązań, bo delta ujemna - to nie równanie!
$x\in R$

Dalsza część kursu dostępna
dla użytkowników premium

Subskrypcja premium miesięczna

Automatyczna comiesięczna płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT.

Płatność kartą. Autoodnawialność można w każdej chwili wyłączyć.

15 zł

Dostęp premium na 3 miesiące

Jednorazowa płatność nadająca użytkownikowi dostęp do wszystkich materiałów edukacyjnych w portalu SOFIZMAT przez 3 miesiące.

Wszystkie metody płatności:
szybki przelew, BLIK, karta, Google Pay.

35 zł

Szybka i bezpieczna płatność za pomocą PayU.
Wszystkie podane ceny zawierają podatek VAT.

Tysiące kursów, zadań oraz quizów z matematyki i fizyki stworzonych przez ekspertów
Podzielone tematycznie i ułożone tak, by zwiększyć efektywność uczenia się
Pełny i wygodny dostęp z dowolnego urządzenia, komputera, tabletu lub komórki
Najtańszy i najefektywniejszy sposób przygotowania się do matury
Brak reklam i jakichkolwiek ukrytych kosztów

Chcesz otrzymać fakturę? Napisz na: .

Materiały zamieszczone w portalu SOFIZMAT podlegają ochronie prawnej na podstawie przepisów ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych. Bez zgody właścicieli zabronione jest m.in. ich kopiowanie, przedruk oraz udostępnianie w całości, jak i w części.

Nierówności kwadratowekurs